На этом уроке мы начнём изучать неравенства и их свойства. Мы рассмотрим простейшие неравенства - линейные и методы решения систем и совокупностей неравенств.

Мы часто сравниваем те или иные объекты по их числовым характеристикам: товары по их ценам, людей по их росту или возрасту, смартфоны по их диагонали или результаты команд по количеству забитых мячей в матче.

Соотношения вида или называют неравенствами . Ведь в них записано, что числа не равны, а больше или меньше друг друга.

Чтобы сравнивать натуральные числа в десятичной записи, мы упорядочили цифры: , а дальше чаще всего использовали преимущества десятичной записи: начинали сравнивать цифры чисел с крайних левых разрядов до первого несоответствия.

Но этот способ не всегда удобен.

Проще всего сравнивать положительные числа, т.к. они обозначают количества. Действительно, если число можно эквивалентно представить в виде суммы числа с каким-то другим числом , то больше : .

Эквивалентная запись: .

Это определение можно расширить не только на положительные числа, но и на любые два числа: .

Число больше числа (записывается как или ), если число является положительным. Соответственно, если число отрицательно, то .

Например, сравним две дроби: и . Сразу так и не скажешь, какая из них больше. Поэтому обратимся к определению и рассмотрим разность :

Получили отрицательное число, значит, .

На числовой оси большее число всегда будет располагаться правее, меньшее - левее (Рис. 1).

Рис. 1. На числовой оси большее число располагается правее, меньшее - левее

Зачем нужны такие формальные определения? Одно дело - наше понимание, а другое - техника. Если сформулировать строгий алгоритм сравнения чисел, то его можно поручить компьютеру. В этом есть плюс - такой подход избавляет нас от выполнения рутинных операций. Но есть и минус - компьютер точно следует заданному алгоритму. Если компьютеру поставлена задача: поезд должен отправиться со станции в , то, даже если вы окажетесь на платформе в , на этот поезд вы уже не успеете. Поэтому алгоритмы, которые мы задаём компьютеру для выполнения различных вычислений или решения задач, должны быть очень точными и максимально формализованными.

Как и в случае равенств, с неравенствами можно совершать некоторые действия и получать эквивалентные неравенства.

Рассмотрим некоторые из них.

1. Если , то для любого числа . Т.е. можно прибавлять или вычитать одно и то же число к обеим частям неравенства.

У нас уже есть хороший образ - весы. Если одна из чашек весов перевешивала, то, сколько бы мы ни добавляли (или не забирали) к обеим чашам, эта ситуация не изменится (Рис. 2).

Рис. 2. Если чаши весов не уравновешены, то после добавления (убавления) к ним одинакового количества гирь они останутся в таком же неуравновешенном положении

Это действие можно сформулировать по-другому: можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменяя их знак на противоположный: .

2. Если , то и для любого положительного . Т.е. обе части неравенства можно умножать или делить на положительное число и его знак не изменится.

Для понимания этого свойства можно опять воспользоваться аналогией с весами: если, к примеру, левая чаша перевешивала, то, если возьмём две левые чаши и две правые, перевес точно сохранится. Та же ситуация для , чаш и т.д. Даже если возьмём половины каждой из чаш, ситуация тоже не изменится (Рис. 3).

Рис. 3. Если чаши весов не уравновешены, то, после того как забрать половину каждой из них, они останутся в таком же неуравновешенном положении

Если же умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. С аналогией для этой операции чуть сложнее - отрицательных количеств нет. Здесь поможет тот факт, что у отрицательных чисел всё наоборот (чем больше модуль числа, тем меньше само число): .

Для чисел разных знаков ещё легче: . Т.е., умножая на , мы должны изменить знак неравенства на противоположный.

Что касается умножения на отрицательное число , то можно выполнить эквивалентную операцию из двух частей: сначала умножить на противоположное положительное число - как мы уже знаем, знак неравенства не изменится: .

Подробнее о сложении и умножении

В первом свойстве мы записали: , но при этом сказали, что можно не только прибавлять, но и вычитать. Почему? Потому что вычитание числа - это то же самое, что и прибавление противоположного числа: . Именно поэтому мы говорим не только о сложении, но и о вычитании.

Аналогично и со вторым свойством: деление - это умножение на обратное число: . Поэтому во втором свойстве мы говорим не только об умножении на число, но и о делении.

3. Для положительных чисел и , если , то .

Это свойство мы хорошо знаем: если мы торт делим на человек, то, чем больше , тем меньше достанется каждому. Например: , поэтому (действительно, четвёртая часть торта явно меньше третьей части того же торта) (Рис. 4).

Рис. 4. Четвёртая часть торта меньше третьей части того же торта

4. Если и , то .

Продолжая аналогию с весами: если на одних весах левая чаша перевешивает правую и на других - такая же ситуация, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, снова получим, что левая чаша перевешивает (Рис. 5).

Рис. 5. Если левые чаши двух весов перевешивают правые, то, ссыпав отдельно содержимое левых и отдельно содержимое правых чаш, получится, что левая чаша перевешивает

5. Для положительных , если и , то .

Здесь аналогия чуть более сложная, но тоже ясная: если левая чаша тяжелее правой и мы возьмём больше левых чаш, чем правых, то точно получим более массивную чашу (Рис. 6).

Рис. 6. Если левая чаша тяжелее правой, то если взять больше левых чаш, чем правых, то получится более массивная чаша

Последние два свойства интуитивно понятны: сложив или умножив числа побольше, мы в результате получим большее число.

Большинство из этих свойств можно строго доказать, используя различные алгебраические аксиомы и определения, но мы не будем этого делать. Для нас процесс доказательства представляет не такой интерес, как непосредственно полученный результат, который мы будем использовать на практике.

До сих пор мы говорили о неравенствах как о способе записи результата сравнения двух чисел: или . Но неравенства можно использовать и для записи различной информации об ограничениях для того или иного объекта. В жизни мы часто используем такие ограничения для описания, например: Россия - это миллионы людей от Калининграда до Владивостока; в лифте можно перевозить не больше кг, а в пакет - класть не больше кг. Ограничения могут быть использованы и для классификации объектов. Например, в зависимости от возраста выделяют различные категории населения - дети, подростки, молодёжь и т.д.

Во всех рассмотренных примерах можно выделить общую идею: некоторая величина ограничена сверху или снизу (или с обеих сторон сразу). Если - грузоподъёмность лифта, а - допустимая масса товаров, которые можно класть в пакет, то описанную выше информацию можно записать так: , и т.д.

В рассмотренных примерах мы были немного неточны. Формулировка «не больше» подразумевает, что в лифте можно перевозить ровно кг, а в пакет можно положить ровно кг. Поэтому правильнее было записать так: или . Естественно, так писать неудобно, поэтому придумали специальный знак: , который читается как «меньше или равно». Такие неравенства называются нестрогими (соответственно, неравенства со знаками - строгими ). Их используют тогда, когда переменная может быть не только строго больше или меньше, но может и равняться граничному значению.

Решением неравенства называются все такие значения переменной, при подстановке которых полученное числовое неравенство будет верным. Рассмотрим, например, неравенство: . Числа - решения этого неравенства, т.к. неравенства являются верными. А вот числа и не являются решениями, поскольку числовые неравенства и не являются верными. Решить неравенство , значит, найти все значения переменных, при которых неравенство будет верным.

Вернемся к неравенству . Его решения можно эквивалентно описать так: все действительные числа, которые больше . Понятно, что таких чисел бесконечное множество, как же в таком случае записать ответ? Обратимся к числовой оси: все числа, большие , расположены справа от . Заштрихуем эту область, тем самым показывая, что это и будет ответ к нашему неравенству. Чтобы показать, что число не является решением, его заключают в пустой круг, или, по-другому, выкалывают точку (Рис. 7).

Рис. 7. На числовой оси показано, что число не является решением (выколотая точка)

Если же неравенство нестрогое и выбранная точка является решением, то её заключают в закрашенный круг.

Рис. 8. На числовой оси показано, что число является решением (закрашенная точка)

Итоговый ответ удобно записывать с помощью промежутков . Промежуток записывается по следующим правилам:

Знак обозначает бесконечность, т.е. показывает, что число может принимать сколь угодно большое () или сколь угодно малое значение ().

Ответ к неравенству мы можем записать так: или просто: . Это означает, что неизвестная принадлежит указанному промежутку, т.е. может принимать любые значения из этого промежутка.

Если обе скобки промежутка круглые, как в нашем примере, то такой промежуток ещё называют интервалом .

Обычно решением неравенства является промежуток, но возможны и другие варианты, например, решением может быть множество, состоящее из одного или несколько чисел. Например, неравенство имеет только одно решение . Ведь при любых других значениях выражение будет положительным, а значит, соответствующее числовое неравенство выполняться не будет.

Неравенство может и не иметь решений. В этом случае ответ записывают как («Переменная принадлежит пустому множеству»). В том, что решением неравенства может быть пустое множество, нет ничего необычного. Ведь в реальной жизни ограничения также могут привести к тому, что не найдется ни одного элемента, удовлетворяющего требованиям. Например, людей с ростом выше метров и при этом весом до кг - точно нет. Множество таких людей не содержит ни одного элемента, или, как говорят, это пустое множество.

Неравенства могут использоваться не только для записи известной информации, но и, как математические модели, для решения различных задач. Пусть у вас есть рублей. Сколько мороженых по рублей вы можете купить на эти деньги?

Другой пример. У нас есть рублей и нам нужно купить мороженое на друзей. По какой цене мы можем выбрать мороженое для покупки?

В жизни каждый из нас умеет решать такие простые задачи в уме, но задача математики - разработать удобный инструмент, с помощью которого можно решить не одну конкретную задачу, а целый класс разных задач независимо от того, о чём идёт речь - количество порций мороженого, машин для перевозки грузов или рулонов обоев для комнаты.

Перепишем условие первой задачи про мороженое на математическом языке: одна порция стоит рублей, количество порций, которое мы можем купить, нам неизвестно, обозначим как . Тогда общая стоимость нашей покупки: рублей. И, по условию, эта сумма не должна превышать рублей. Избавляясь от наименований, получаем математическую модель: .

Аналогично для второй задачи (где - стоимость порции мороженого): . Конструкции , - простейшие примеры неравенств с переменной, или линейных неравенств.

Линейными называются неравенства вида , а также те, которые можно привести к такому виду эквивалентными преобразованиями. Например: ; ; .

Ничего нового в таком определении для нас нет: отличие линейных неравенств от линейных уравнений только в замене знака равенства на знак неравенства. Название также связано с линейной функцией , которая фигурирует в левой части неравенства (Рис. 9).

Рис. 9. График линейной функции

Соответственно, алгоритм решения линейных неравенств почти такой же, как и алгоритм решения линейных уравнений:

Разберём несколько примеров.

Пример 1. Решить линейное неравенство: .

Решение

Перенесём слагаемое с неизвестной из правой части неравенства в левую: .

Делим обе части на отрицательное число , знак неравенства меняется на противоположный: . Сделаем рисунок на оси (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к примеру 1

Левого края у промежутка нет, поэтому пишем . Левый край промежутка , неравенство строгое, поэтому запишем с круглой скобкой. Получаем интервал: .

Пример 2. Решить линейное неравенство:

Решение

Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства: .

Приведём подобные слагаемые: .

Сделаем рисунок на оси (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к примеру 2

Получаем промежуток: .

Что делать, если после приведения подобных слагаемых пропала неизвестная

Пример 1. Решить линейное неравенство: .

Решение

Раскроем скобки: .

Перенесём в левую часть все слагаемые с переменной, а в правую - без переменной:

Приведём подобные слагаемые: .

Получаем: .

Неизвестной нет, что же делать? На самом деле снова ничего нового. Вспомните, что мы делали в таких случаях для линейных уравнений: если получилось верное равенство, то решение - любое действительное число, если получилось неверное равенство, то решений у уравнения - нет.

Так же поступаем и здесь. Если получившееся числовое неравенство верно, значит, неизвестная может принимать любые значения: ( - множество всех действительных чисел). Но числовой оси это можно изобразить следующим образом (Рис. 1):

Рис. 1. Неизвестная может принимать любые значения

А с помощью интервала записать так: .

Если же числовое неравенство получилось неверным, то исходное неравенство не имеет решений: .

В нашем случае неравенство неверно, поэтому ответ: .

В различных задачах нам может встретиться не одно, а сразу несколько условий или ограничений. Например, чтобы решить транспортную задачу, нужно учесть количество машин, время в пути, грузоподъёмность и прочее. Каждое из условий на математическом языке будет описываться своим неравенством. При этом возможны два варианта:

1. Все условия выполняются одновременно. Такой случай описывается системой неравенств . При записи они объединяются фигурной скобкой (можно прочитать её как союз И): .

2. Должно выполняться хотя бы одно из условий. Это описывается совокупностью неравенств (можно прочитать её как союз ИЛИ): .

Системы и совокупности неравенств могут содержать несколько переменных, их количество и сложность могут быть любыми. Но мы будем подробно изучать самый простой случай: системы и совокупности неравенств с одной переменной.

Как их решать? Нужно по отдельности решить каждое из неравенств, а дальше всё зависит от того, система перед нами или совокупность. Если это система , должны выполняться все условия. Если Шерлок Холмс определил, что преступник был блондином и имел размер ноги, то среди подозреваемых должны остаться только блондины с размером ноги. Т.е. нам подойдут только те значения, которые соответствуют и одному, и второму, и, если есть, третьему, и другим условиям. Они находятся на пересечении всех полученных множеств. Если использовать числовую ось, то - на пересечении всех заштрихованных частей оси (Рис. 12).

Рис. 12. Решение системы - пересечение всех заштрихованных частей оси

Если это совокупность , то нам подойдут все значения, которые являются решениями хотя бы одного неравенства. Если Шерлок Холмс определил, что преступником мог быть или блондин, или человек с размером ноги, то среди подозреваемых должны оказаться как все блондины (независимо от размера обуви), так и все люди с размером ноги (независимо от цвета волос). Т.е. решением совокупности неравенств будет объединение множеств их решений. Если использовать числовую ось, то - объединение всех заштрихованных частей оси (Рис. 13).

Рис. 13. Решение совокупности - объединение всех заштрихованных частей оси

Подробнее о пересечении и объединении вы можете узнать ниже.

Пересечение и объединение множеств

Термины «пересечение» и «объединение» относятся к понятию множества. Множество - набор элементов, отвечающим некоторым критериям. Примеров множеств вы можете придумать сколько угодно: множество одноклассников, множество футболистов сборной России, множество машин в соседнем дворе и т.д.

Вы уже знакомы с числовыми множествами: множеством натуральных чисел , целых , рациональных , действительных чисел . Есть и пустые множества , они не содержат элементов. Решения неравенств - это тоже множества чисел.

Пересечением двух множеств и называется такое множество , которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству , и множеству (Рис. 1).

Рис. 1. Пересечение множеств и

Например, пересечение множества всех женщин и множества президентов всех стран будут все женщины-президенты.

Объединением двух множеств и называется такое множество , которое содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или (Рис. 2).

Рис. 2. Объединение множеств и

Например, объединением множества футболистов «Зенита» в сборной России и футболистов «Спартака» в сборной России будут все футболисты «Зенита» и «Спартака», которые играют за сборную. Кстати, пересечение этих множеств будет пустым множеством (игрок не может одновременно играть за два клуба).

С объединением и пересечением числовых множеств вы уже сталкивались, когда искали НОК и НОД двух чисел. Если и - это множества, состоящие из простых множителей, полученных при разложении чисел, то НОД получается из пересечения этих множеств, а НОК - из объединения. Пример:

Пример 3. Решить систему неравенств: .

Решение

Решим по отдельности неравенства. В первом неравенстве перенесём слагаемое без переменной в правую часть с противоположным знаком: .

Приведём подобные слагаемые: .

Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется:

Во втором неравенстве перенесём в левую часть слагаемое с переменной, а в правую - без переменной: . Приведём подобные слагаемые: .

Разделим обе части неравенства на положительное число , знак неравенства не меняется:

Изобразим решения отдельных неравенств на числовой оси. По условию, у нас система неравенств, поэтому ищем пересечение решений (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

По сути первая часть решения систем и совокупностей неравенств с одной переменной сводится к решению отдельных линейных неравенств. В этом вы можете попрактиковаться самостоятельно (например, с помощью наших тестов и тренажёров), а мы подробнее остановимся на нахождении объединений и пересечений множеств решений.

Пример 4. Пусть было получено следующее решение отдельных уравнений системы:

Решение

Заштрихуем на оси область, соответствующую решению первого уравнения (Рис. 15); решение второго уравнения - пустое множество, ему на оси ничего не соответствует.

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 4

Это система, поэтому нужно искать пересечение решений. Но их нет. Значит, ответом к системе будем также пустое множество: .

Пример 5. Еще пример: .

Решение

Отличие в том, что это уже совокупность неравенств. Поэтому нужно выбрать область на оси, которая соответствует решению хотя бы одного из уравнений. Получим ответ: .

Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.

Раскрываем скобки . Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.

Приводим подобные слагаемые.

Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как , точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. от -2, на минус бесконечность.

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.

Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения , то есть умножаем на 10 только один множитель.

Раскрываем скобки:

Приводим подобные слагаемые:

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Сокращаем дробь:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Приводим подобные слагаемые:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой. Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:

Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

Рассмотрим, например, неравенство

2х + 5 < 7.

Подставив вместо х значение 0 , получим 5 < 7 - верное неравенство; значит, х = 0 х значение 1 , получим 7 < 7 - неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3 , получим -6 + 5 < 7 , т.е. - 1 < 7 - верное неравенство; следовательно, х = -3 - решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5 , получим 2 - 2,5 + 5 < 7 , т. е. 10 < 7 - неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

Но вы же понимаете, что это - тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Нас интересуют такие числа х , при которых 2х + 5 < 7 - верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 - 5< 7 - 5 - верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число - 5 ). Получили более простое неравенство 2х < 2 . Разделив обе его части на положительное число 2 , получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1 .

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х , которое меньше 1 . Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1) . Обычно говорят, что этот луч - решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1) .

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный .

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0 ),

где а и b - любые числа, за одним исключением: а ≠ 0 .

Пример 1.

Решить неравенство Зх - 5 ≥ 7х - 15 .

Р е ш е н и е .

Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член - 5 - в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х , и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

Зх - 7х ≥ - 15 + 5 , т. е. - 4х ≥ - 10 .

Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число - 4 , не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим х < 2,5 . Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5] .

О т в е т: х < 2,5 , или (-∞, 2,5] .

Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными , если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства . Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1-3.

Пример 2.

Решить неравенство

Р е ш е н и е.

Умножим обе части неравенства на положительное число 15 , оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

Наконец, применив правило 3, получим

О т в е т: или

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Например, неравенством является выражение \(x>5\).

Виды неравенств:

Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Переменная только в первой степени
\(3x^2-x+5>0\)				Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
\(\log_{4}{(x+1)}<3\)
\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)

... и так далее.

Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства . Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»
	Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
	Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)

Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

Учеба